$hide=mobile

Sự Xác Định Lũy Thừa Với Số Mũ Vô Tỷ

  • [message]
    • Bài Toán. Cho $a$ là một số thực dương còn $\alpha$ là một số vô tỷ, giả sử có hai dãy số hữu tỷ cùng hội tụ về $\alpha$ là $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(t_n\right)_{n\in\mathbb N}$, xét hai dãy cho bởi sự gán trị\[{u_n} = {a^{{r_n}}},\quad {v_n} = {a^{{t_n}}},\;\forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]Chứng minh rằng, $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cùng hội tụ đến một giới hạn.
      • Lời Giải. Chú ý rằng, nếu bài toán vừa đưa ra được giải quyết, thì ta sẽ có được định nghĩa tốt cho $a^{\alpha}$. Theo đó thì, giá trị của $a^{\alpha}$ chính là kết quả giới hạn duy nhất mà các dãy $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cùng hội tụ đến. Giờ, ta sẽ xử lý bài toán kia.

        Với $a=1$, thì bài toán hết sức tầm thường, vì theo khái niệm về lũy thừa với số mũ hữu tỷ, thì $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ đều là các dãy hằng và cùng hội tụ đến $1$.

        Ta chỉ cần xét trường hợp $a>1$, bởi vì nếu đạt được điều đó, thì với $0<a<1$ ta xét $a’=\dfrac{1}{a}$, nhờ các tính chất giới hạn sẽ có điều cần chứng minh.

        Trước tiên, ta cần đến bổ đề sau đây.

        Bổ Đề. Cho một dãy số thực $\left(s_n\right)_{n\in\mathbb N^*}$, khi đó luôn tồn tại một dãy con $\left(s_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N}$ của nó là dãy số đơn điệu.

        Chứng Minh Bổ Đề. Ta gọi một số nguyên dương $n$ là “ngáo” nếu $s_n\ge s_m$ với mọi số nguyên dương $m$ thỏa mãn $m>n$. Gọi $\cal N$ là tập các số nguyên dương “ngáo”, xét hai trường hợp sau
        Nếu $\cal N$ là một tập hữu hạn, lúc đó ắt phải tồn tại $N$ đủ lớn để $n$ không là “ngáo” với mọi số nguyên dương $n\ge N$. Đặt $n_1=N$, khi đó tồn tại số nguyên dương $n_2>n_1$ sao cho $s_{n_2}>s_{n_1}$ do $n_1$ không “ngáo”. Lại có $n_2>N$, nên $n_2$ không “ngáo”, vì thế phải tồn tại số nguyên dương $n_3>n_2$ để $s_{n_3}>s_{n_2}$.. Cứ như vậy, sẽ tồn tại dãy tăng ngặt các số nguyên dương $\left(n_k\right)_{k\in\mathbb N^*}$ để với mọi số nguyên dương $k$ thì $n_k$ không “ngáo” và điều quan trọng nhất là $\left(s_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N^*}$ là một dãy số tăng ngặt.
        Nếu $\cal N$ là một tập vô hạn, điều đó nghĩa là tồn tại một dãy tăng ngặt các số nguyên dương $\left(n_k\right)_{k\in\mathbb N^*}$ để với mọi số nguyên dương $k$ thì $n_k$ là “ngáo”. Điều này sẽ dẫn đến là dãy con $\left(s_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N^*}$ phải là một dãy đơn điệu không tăng do bản chất các số “ngáo”. Ta có được điều cần chứng minh cho bổ đề, từ hai trường hợp đã xét.

        Quay là bài toán đặt ra, theo bổ đề ta trích được từ $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ dãy con $\left(r_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N}$ đơn điệu. Do $a>1$ và tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ, thì dãy $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cũng là dãy đơn điệu cũng chiều với $\left(r_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N}$, ở đây với mỗi $k\in\mathbb N$ thì \[{w_k} = {a^{{r_{{n_k}}}}}.\]Do $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ hội tụ về $\alpha$ nên $\left(r_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N}$ cũng vậy, sự hội tụ kèm theo tính bị chận cho nên lại theo tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ, thì dãy $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cũng bị chận. Theo nguyên lý Weierstrass, sẽ tồn tại\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {w_n} = L.\]Chúng ta sẽ hoàn chỉnh chứng minh, nếu như ta chỉ ra rằng\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {v_n} = L.\]Do tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ, các dãy $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cùng bị chặn, ta gọi $M$ là cận trên chung của chúng, rõ ràng $M>0$ và\[\left| {{w_k} – {v_k}} \right| = \left| {{a^{{r_{{n_k}}}}} – {a^{{t_k}}}} \right| \le M\left( {{a^{\left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|}} – 1} \right);\quad (0).\]Bây giờ, lấy ra một số thực dương $\epsilon$ bất kỳ, do $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right| = 0$, cho nên tồn tại số tự nhiên $N_1$ để với mỗi số nguyên dương $k>N_1$ ta có $$\left|r_{n_{k}}-t_{k}\right|<\min \left\{\frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{2 M(a-1)}\right\};\quad (1).$$ Vì $\left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|$ là số hữu tỷ thuộc nửa khoảng mở $[0;\,1)$, nên theo bất đẳng thức Bernoulli, ta có đánh giá sau đây \[{a^{\left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|}} \le 1 + \left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|\left( {a – 1} \right);\quad (2).\]Từ $(0),\,(1)$ và $(2)$, với mỗi số nguyên dương $k>N_1$ ta có được\[\left| {{w_k} – {v_k}} \right| \le M(a-1)\left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|\le\frac{\epsilon}{2};\quad (3).\]Lại vì $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb N}$ là dãy hội tụ đến $L$, nên tồn tại số tự nhiên $N_2$ để với mỗi số nguyên dương $k>N_2$ ta có\[\left| {{w_k} – L} \right| < \frac{\epsilon}{2};\quad (4).\]Từ $(3)$ và $(4)$ ta thấy rằng: với bất kỳ $\epsilon >0$ luôn tồn tại số tự nhiên $N$ (ví dụ như $N=N_1+N_2$), sao cho với mỗi số nguyên dương $k>N$ thì\[\left| {{v_k} – L} \right| \le \left| {{w_k} – {v_k}} \right| + \left| {{w_k} – L} \right|<\epsilon.\]Như vậy $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ hội tụ đến $L$, do vai trò tương đồng của $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ mà ta có được điều cần chứng minh.

        Lưu ý rằng, ở chứng minh trên tôi có sử dụng bất đẳng thức Bernoulli với số mũ hữu tỷ, như sau

        Bất Đẳng Thức Bernoulli. Cho $a>0$ khi đó với số hữu tỷ $r$ thỏa mãn $0\le r<1$ thế thì ta sẽ có đánh giá sau đây\[{a^r} \le 1 + r\left( {a – 1} \right).\]Chứng minh. Viết $r=\frac{m}{n}$ với $m,\,n$ là các số tự nhiên và $m<n$, khi đó theo bất đẳng thức AM-GM ta có\begin{align*}ma + \left( {n – m} \right) &= \underbrace {a + a + \ldots + a}_{m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \text{lần}} + \underbrace {1 + 1 + \ldots + 1}_{n – m\;\text{lần}}\\& \ge n\sqrt[n]{{{a^m}}} .\end{align*}Chia hai vế của đánh giá đó cho $n$ và rút gọn, ta có được điều cần chứng minh.

        Cũng muốn nhấn mạnh là, với mỗi số vô tỷ $\alpha$ thì luôn tồn tại vô số dãy hữu tỷ $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ hội tụ đến $\alpha$. Ví dụ, lấy số nguyên dương $M$ với $M>1$ bất kỳ, xét dãy số $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cho bởi công thức số hạng tổng quát\[{r_n} = \frac{{\left\lfloor {{M^n}\alpha } \right\rfloor }}{{{M^n}}},\;\forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]Khi $M=10$, dãy $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ chính là xấp xỉ $\alpha$ theo từng chữ số thập phân.
Theo MathsVN

Post a Comment


$hide=home

$hide=mobile$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$show=mobile$type=complex$c=6$spa=0$t=oot$h=1$sn=0$rm=0$m=0$l=0$src=random$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,16,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,47,Bắc Giang,45,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,8,Bắc Ninh,43,Bắc Trung Bộ,8,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,43,Benelux,13,Bình Định,39,Bình Dương,19,Bình Phước,37,Bình Thuận,30,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,12,Cần Thơ,13,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,308,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,122,Chuyên Sư Phạm,30,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,603,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,51,Đắk Nông,5,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1500,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,7,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,46,Đồng Tháp,50,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,31,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,25,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,24,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,25,Hà Nội,220,Hà Tĩnh,66,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,46,Hải Phòng,40,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,32,HKUST,6,Hòa Bình,12,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,7,HSG 10,91,HSG 11,78,HSG 12,523,HSG 9,373,HSG Cấp Trường,76,HSG Quốc Gia,97,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,28,Hương Sơn,1,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,24,IMO,51,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,303,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,14,KHTN,49,Kiên Giang,61,Kim Liên,1,Kon Tum,17,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,31,Lạng Sơn,18,Langlands,1,Lào Cai,11,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,41,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,430,Lớp 10 Không Chuyên,218,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYM,74,MYTS,4,Nam Định,30,Nam Phi,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,48,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,38,Ninh Thuận,14,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,94,Olympic 10/3,3,Olympic 11,86,Olympic 12,28,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,19,Olympic 30/4,65,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,10,Olympic Toán,292,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,26,Phú Yên,24,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,10,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,41,Putnam,25,Quảng Bình,39,Quảng Nam,28,Quảng Ngãi,31,Quảng Ninh,41,Quảng Trị,23,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,68,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,22,Shortlists,55,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,27,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,3,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,4,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,25,Thạch Hà,1,Thái Bình,37,Thái Nguyên,33,Thái Vân,2,Thanh Hóa,54,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,7,Thừa Thiên Huế,34,Tiền Giang,18,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TP Hồ Chí Minh,112,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,33,Trại Hè Hùng Vương,24,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,17,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,64,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,1,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,26,Vĩnh Long,18,Vĩnh Phúc,58,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,42,VNTST,20,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,25,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,16,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: Sự Xác Định Lũy Thừa Với Số Mũ Vô Tỷ
Sự Xác Định Lũy Thừa Với Số Mũ Vô Tỷ
MOlympiad
https://www.molympiad.xyz/2020/03/su-xac-inh-luy-thua-voi-so-mu-vo-ty.html
https://www.molympiad.xyz/
https://www.molympiad.xyz/
https://www.molympiad.xyz/2020/03/su-xac-inh-luy-thua-voi-so-mu-vo-ty.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy