$hide=mobile

[Doãn Quang Tiến, Nguyễn Minh Tuấn, Tôn Ngọc Minh Quân] Phương Trình Hàm Trên Tập Rời Rạc

Những bài toán phương trình hàm ngày nay đã trở nên rất phổ biến đối với các bạn học sinh yêu Toán vì chúng đã xuất hiện thường xuyên trong các đề thi học sinh giỏi các cấp cũng như kì thi chọn đội tuyển quốc gia, VMO hay các kì thi khu vực và quốc tế mà ta được biết đến. Đặc biệt, trong các lớp dạng phương trình hàm, thì dạng phương trình hàm trên các tập rời rạc là một mảng được ít các học sinh chú ý tới bởi độ khó và chưa được tiếp xúc nhiều đồng thời ngoài việc sử dụng các kĩ thuật xử lý phương trình hàm cơ bản chúng ta còn phải sử dụng các tính chất số học rất đặc sắc của tập rời rạc như là: tính chia hết, tính chất của số nguyên tố, của số chính phương,… Trong ebook này chúng tôi sẽ mang tới cho bạn đọc tuyển tập các bài toán phương trình hàm trên tập rời rạc và một số bài toán phương trình hàm khác hay và khó với những lời giải vô cùng đặc sắc nhằm giúp bạn đọc có thể có nhiều cách nhìn khác về mảng toán này đồng thời cũng như chuẩn bị cho các kì học sinh giỏi, olympic.
  1. Cho $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ và các số nguyên $x,\ y$ thỏa mãn điều kiện \[f(f(x)-y)=f(y)-f(f(x)).\] Chứng minh rằng $f$ bị chặn.
  2. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa mãn \[f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x),\quad \left(1+\frac{1}{x}\right)f(x)=f(x+1) \] với mọi $x \in \mathbb{Q}^+$.
  3. Cho $f$ là hàm số được xác định trên tập các số nguyên dương. Với bất kì $a,\ b >1$ và $d = \text{UCLN}\ (a,b)$ ta có \[f(ab)=f(d)\left(f\left(\frac{a}{d}\right)+f\left(\frac{b}{d}\right)\right) .\] Xác định các giá trị có thể của $f(2001)$.
  4. Cho $f$ là hàm số xác định trên các tập số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi $n>1$ tồn tại một số chia nguyên tố $p$ thỏa mãn $f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p)$. Cho trước $f(2001) = 1$, xác định giá trị của $f(2002)$. 
  5. Đặt $\mathbb{Q}^+$ là tập các số hữu tỉ dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một hàm số $f: \mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa mãn các điều kiện sau
    • Nếu $ 0<q<1/2$ thì $ f(q)=1+f(q/(1-2q))$.
    • Nếu $ 1<q\le2$ thì $ f(q)=1+f(q-1)$.
    • $ f(q)\cdot f(1/q)=1$ với mọi $ q\in Q^+$.
  6. Cho $\phi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ là một song ánh và giả sử giới hạn sau đây tồn tại hữu hạn $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\phi(n)}{n}=L .$$ Tìm các giá trị có thể của $L$?
  7. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn $$f(xy)\gcd \left(f(x)f(y),f\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right)\right)=xyf\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right),\quad  \forall x,y \in \mathbb{Q}^+$$
  8. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn
    • $f(n)$ là số chính phương $\forall n \in \mathbb{Z}^+$
    • $f(m+n)=f(m)+f(n) +2mn$, $\forall m,n \in \mathbb{Z}^+$
  9. Một số tự nhiên $p$ được gọi là 'hoàn hảo' nếu nó bằng tổng các ước dương của nó ngoại trừ chính nó. Xét hàm số $f(x)$ thỏa mãn
    • $f(n)=0$ nếu $n$ là số 'hoàn hảo'
    • $f(n)= 0$ nếu $n$ có chữ số tận cùng là $4$
    • $f(ab)=f(a)+f(b)$. Tính $f(1998)$
  10. Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn
    • $g(1)=1$
    • $\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
    • $\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
    • $\exists k$ sao cho $g(k)=2001$. Tìm số $k$ nhỏ nhất.
  11. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại cách tô $k$ màu vào tập số nguyên dương và tồn tại một hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ thỏa mãn 2 điều kiện sau
    • Với mọi số $m$, $n$ được tô cùng màu thì $f(m+n)=f(m)+f(n)$
    • Tồn tại vài số $m$, $n$ sao cho $f(m+n)\neq f(m)+f(n)$.
    Lưu ý. mỗi số nguyên dương được tô đúng 1 trong $k$ màu, hai số $m$, $n$ ở hai điều kiện không nhất thiết phải trùng nhau.
  12. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Z}^+\Rightarrow\mathbb{Z}^+$ thỏa mãn
    • $f(mn)=f(m)f(n)$, $\forall m,n \in \mathbb{Z}^+$
    • $\left \{ 1,2,...,n \right \}=\left \{ f(1),f(2),...,f(n)\right \}$ với vô số số nguyên dương $n$
  13. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1,\quad \forall x,y\in \mathbb{Q}$$
  14. Xét hàm số $f$ xác định trên tập số nguyên không âm thỏa mãn
    • $f(n)=0$ nếu $n=2^j-1$ với vài giá trị $j$
    • $f(n+1)=f(n)-1$ với các trường hợp còn lại.
    a) Chứng minh với mọi $n\geq0$ thì tồn tại số $k\geq 0$ sao cho $f(n)+n=2^k-1$.
    b) Tính $f(2^{1990})$.
  15. Xét hàm số $f(x)$ xác định và nhận các giá trị trên $\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f(1)=1,\quad f(2n+1)=f(2n)+1,\quad f(2n)=3f(n).$$ Xác định tập giá trị của $f(x)$.
  16. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f(x^2)-f(y^2)=f(x+y)f(x-y),\,\forall x,\,y\in \mathbb{N},\, x\geq y$$
  17. Cho hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ không giảm thỏa mãn $f(mn)=f(m)f(n)$ với mọi số $m$ và $n$ nguyên tố cùng nhau. Chứng minh $f(8).f(13)\geq f(10)^2$
  18. Hàm số $f$ xác định và nhận các giá trị trên tập các số nguyên không âm và thỏa mãn $$f(n)=f(f(n+11))\,\forall n\leqslant 1999,\quad f(n)=n-5\,\forall n>1999.$$ Tìm tất cả các giá trị $n$ để $f(n)=1999$.
  19. Xét hàm số $f$ xác định và nhận các giá trị trên tập số nguyên không âm thỏa mãn $$f(2x)=2f(x),\quad f(4x+1)=4f(x)+3,\quad f(4x-1)=2f(2x-1)-1.$$ Chứng minh $f$ đơn ánh.
  20. Cho hàm số $f$ xác định trên tập số nguyên dương và nhận giá trị thực, cho trước số nguyên $a$. Biết $$f(a)=f(1995),\, f(a+1)=f(1996),\, f(a+2)=f(1997),\quad f(n+a)=\frac{f(n)-1}{f(n)+1},\,\forall n.$$ a) Chứng minh $f(n+4a)=f(n)\,\forall n$. b) Tìm số $a$ nhỏ nhất.
  21. Có tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ thỏa mãn $$f(x+f(y))=f(x)-y\,\forall x,\,y$$
  22. Xác định tất cả hàm số $f:\mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f(x^2-y^2)=f(x)f(y)\,\forall x>y$$
  23. Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ sao cho với mọi số nguyên $a$, $b$ khác 0 thì $f(ab)\geq f(a)+f(b)$. Chứng minh với mọi số nguyên $a$ khác 0, ta luôn có $f(a^n)=nf(a)\,\forall n$ khi và chỉ khi $f(a^2)=2f(a)$
  24. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f(2)=2,\quad f(n)<f(n+1),\quad f(mn)=f(m)f(n),\,\forall m,n$$
  25. Có tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f_{(2003)}(n)=5n,\,\forall n$$ với $f_{(0)}(n)=f(n)$, $f_{(k)}(n)=f_{k-1}(n)$, $\forall k\in \mathbb{N}$.

Post a Comment


$hide=home

$hide=mobile$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$show=mobile$type=complex$c=6$spa=0$t=oot$h=1$sn=0$rm=0$m=0$l=0$src=random$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,16,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,47,Bắc Giang,45,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,8,Bắc Ninh,43,Bắc Trung Bộ,8,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,43,Benelux,13,Bình Định,39,Bình Dương,19,Bình Phước,37,Bình Thuận,30,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,12,Cần Thơ,13,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,308,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,122,Chuyên Sư Phạm,30,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,603,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,51,Đắk Nông,5,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1500,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,7,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,46,Đồng Tháp,50,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,31,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,25,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,24,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,25,Hà Nội,220,Hà Tĩnh,66,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,46,Hải Phòng,40,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,32,HKUST,6,Hòa Bình,12,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,7,HSG 10,91,HSG 11,78,HSG 12,523,HSG 9,373,HSG Cấp Trường,76,HSG Quốc Gia,97,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,28,Hương Sơn,1,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,24,IMO,51,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,303,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,14,KHTN,49,Kiên Giang,61,Kim Liên,1,Kon Tum,17,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,31,Lạng Sơn,18,Langlands,1,Lào Cai,11,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,41,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,430,Lớp 10 Không Chuyên,218,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYM,74,MYTS,4,Nam Định,30,Nam Phi,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,48,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,38,Ninh Thuận,14,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,94,Olympic 10/3,3,Olympic 11,86,Olympic 12,28,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,19,Olympic 30/4,65,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,10,Olympic Toán,292,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,26,Phú Yên,24,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,10,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,41,Putnam,25,Quảng Bình,39,Quảng Nam,28,Quảng Ngãi,31,Quảng Ninh,41,Quảng Trị,23,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,68,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,22,Shortlists,55,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,27,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,3,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,4,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,25,Thạch Hà,1,Thái Bình,37,Thái Nguyên,33,Thái Vân,2,Thanh Hóa,54,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,7,Thừa Thiên Huế,34,Tiền Giang,18,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TP Hồ Chí Minh,112,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,33,Trại Hè Hùng Vương,24,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,17,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,64,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,1,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,26,Vĩnh Long,18,Vĩnh Phúc,58,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,42,VNTST,20,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,25,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,16,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: [Doãn Quang Tiến, Nguyễn Minh Tuấn, Tôn Ngọc Minh Quân] Phương Trình Hàm Trên Tập Rời Rạc
[Doãn Quang Tiến, Nguyễn Minh Tuấn, Tôn Ngọc Minh Quân] Phương Trình Hàm Trên Tập Rời Rạc
MOlympiad
https://www.molympiad.xyz/2020/02/doan-quang-tien-nguyen-minh-tuan-ton.html
https://www.molympiad.xyz/
https://www.molympiad.xyz/
https://www.molympiad.xyz/2020/02/doan-quang-tien-nguyen-minh-tuan-ton.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy