$hide=mobile

Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2019

  1. Cho $ABCDE$ là ngũ giác nội tiếp đường tròn tâm $O$ và có $AB=AE=CD$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, $J$ là trung điểm của $DE$, $F$ là trực tâm của tam giác $ABE$, và $G$ là trọng tâm của tam giác $AIJ$. $CE$ cắt $BD$ tại $H$, $OG$ cắt $FH$ tại $M$. Chứng minh $AM\perp CD$
  2. Cho số nguyên $n\geq 3$. Liệu có vô hạn tập $$S=\lbrace a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n\rbrace$$ gồm các số nguyên dương sao cho $(a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n)=1$, $\lbrace a_i\rbrace _{i=1}^n$ và $\lbrace b_i\rbrace _{i=1}^n$ là các cấp số cộng, đồng thời $\displaystyle\prod_{i=1}^n a_i = \prod_{i=1}^n b_i$?.
  3. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho có $n$ điểm $P_1,P_2,\ldots,P_n$ trên đường tròn đơn vị để $\displaystyle\sum_{i=1}^n MP_i^k$ là hằng số khi $M$ thuộc đường tròn đó với
    a) $k=2018$.
    b) $k=2019$.
  4. Dãy số nguyên dương $\{a_n\}_{n\geq 1}$ được gọi là tốt nếu với mỗi số nguyên dương $m$, $n$ khác nhau ta có $(m,n) \mid a_m^2 + a_n^2$ và $(a_m,a_n) \mid m^2 + n^2$. Số nguyên dương $a$ được gọi là $k$-tốt nếu tồn tại dãy tốt $\{a_n\}$ sao cho $a_k = a$. Tồn tại hay không số nguyên dương $k$ sao cho có đúng $2019$ số nguyên dương $k$-tốt?.
  5. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ sao cho $$f(2xy + \frac{1}{2}) + f(x-y) = 4f(x)f(y) + \frac{1}{2},\quad\forall x,y\in\mathbb{Q}.$$
  6. Cho số thực dương $k$. Hai người $A$ và $B$ chơi một trò chơi như sau: Lúc bắt đầu, có $80$ số $0$ đặt trên một đường tròn. Ở mỗi lượt chơi, $A$ tăng một vài số trong $80$ số sao cho tổng các số mới tăng $1$. Sau đó, $B$ chọn $10$ số liên tiếp có tổng lớn nhất và giảm tất cả xuống $0$. $A$ thắng nếu sau hữu hạn bước $A$ thu được ít nhất một số không bé hơn $k$. Tìm tất cả $k$ để $A$ có thể thắng.
  7. $AB$ và $AC$ là các tiếp tuyến của một đường $\omega$ với tâm $O$ tại $B$, $C$. Điểm $P$ di động trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn. Tiếp tuyến tại $P$ của $\omega$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $D$, $E$. $AO$ cắt $BP$, $CP$ lần lượt tại $U$, $V$. Đường thẳng qua $P$ vuông góc với $AB$ cắt $DV$ tại $M$, đường thẳng qua $P$ vuông góc với $AC$ cắt $EU$ tại $N$. Chứng minh $MN$ đi qua một điểm cố định.
  8. Gọi $S$ là tập tất cả các bộ $10$ số tự nhiên có tổng bằng $2019$. Với mỗi phần tử của $S$, nếu một thành phần của nó không bé hơn $9$, thì ta có thể thực hiện phép toán: trừ thành phần đó đi $9$ và cộng các thành phần còn lại thêm $1$. Với mỗi $A,B\in S$, ký hiệu $A\rightarrow B$ nếu ta có thể thu được $B$ từ $A$ sau hữu hạn lần thực hiện phép toán.
    a) Tìm số nguyên $k$ bé nhất có tính chất: nếu cả hai thành phần nhỏ nhất trong $A,B\in S$ không bé hơn $k$, thì $A\rightarrow B$ kéo theo $B\rightarrow A$.
    b) Với số $k$ tìm được trong phần trên, có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu phần tử của $S$ sao cho với mỗi $A$, $B$ khác nhau được chọn, $A\not\rightarrow B$?.
  9. Cho số nguyên dương chẵn $n$. Xét các số thực không âm $a_1,a_2,\cdots,a_n$ có tổng bằng $1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$\sum_{1\le i<j\le n}\min\{(i-j)^2,(n+i-j)^2\}a_ia_j.$$
  10. Tồn tại hay không hai tập $A$ và $B$ các số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện: $A$ là tập hữu hạn có ít nhất hai phần tử, $B$ là tập vô hạn; hai phần tử bất kỳ trong tập $A+B:=\{a+b|a\in A,\, b\in B\}$ nguyên tố cùng nhau; với mỗi hai số nguyên dương $m$, $n$ nguyên tố cùng nhau, có $x\in A+B$ để $x\equiv n \pmod m$?.
  11. Cho $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. Đường tròn đường kính $BC$, ký hiệu $\omega$, cắt $AB$, $AC$ lần hai tại $D$, $E$ tương ứng. $P$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle PBA=\angle PAC$, $\angle PCA=\angle PAB$ và $2PM\cdot DE=BC^2$. Điểm $X$ nằm ngoài $\omega$ sao cho $XM\parallel AP$ và $\displaystyle\frac{XB}{XC}=\frac{AB}{AC}$. Chứng minh rằng $$\angle BXC +\angle BAC=90^{\circ}.$$
  12. Với hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $p,q>1$, ta gọi mỗi số nguyên dương không có dạng $px+qy$ $(x,y\in\mathbb{N})$ là xấu, và ký hiệu $S(p,q)$ là tổng của tất cả các số xấu là lũy thừa của $2019$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $(p-1)(q-1)$ chia hết $nS(p,q)$ với mọi $p$, $q$.
  13. Cho các số phức $x,y,z$ thỏa mãn $|x|^2+|y|^2+|z|^2=1$. Chứng minh rằng $$|x^3+y^3+z^3-3xyz| \le 1.$$
  14. Cho $S$ là tập các số nguyên dương sao cho với mỗi số nguyên dương $n$, $n \in S$ khi và chỉ khi $\displaystyle\sum_{d|n,d<n,d \in S} d \le n$. Tìm tất cả các số nguyên dương $n=2^k \cdot p$ ($k\in\mathbb{N}$, $p$ là số nguyên tố lẻ) sao cho $$\sum_{d|n,d<n,d \in S} d = n.$$
  15. Tồn tại hay không song ánh $f:\mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ và số nguyên dương $k$ có tính chất: có thể tô mỗi số nguyên dương bởi một trong $k$ màu cho trước sao cho với mỗi hai số nguyên dương phân biệt $x$ và $y$, $f(x)+y$ và $f(y)+x$ không cùng màu?. 
  16. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
    • $f(0,x)$ không giảm trên $\mathbb{R}$;
    • $f(x,y)=f(y,x)$, $\forall x,y \in \mathbb{R}$;
    • $(f(x,y)-f(y,z))(f(y,z)-f(z,x))(f(z,x)-f(x,y))=0$, $\forall x,y,z \in \mathbb{R}$;
    • $f(x+a,y+a)=f(x,y)+a$, $\forall x,y,a \in \mathbb{R}$.
  17. Cho tam giác $ABC$ với đường cao $AD$. Gọi $E$, $F$ là các điểm nằm trên đường thẳng $AB$ sao cho $BD=BE=BF$. Gọi $I$, $J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh $A$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm $P$, $Q$ trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ thỏa mãn $PB=QC$ và $\Delta PEI \sim \Delta QFJ$.
  18. Cho các số nguyên dương $d \ge 3$, $r>2$, $l$ thỏa mãn $2d \le l <rd$. Mỗi đỉnh của graph $G(V,E)$ được gán một số nguyên dương trong $\{1,2,\cdots,l\}$ sao cho với mỗi hai đỉnh kề nhau của $G$, hai số tương ứng lệch nhau không dưới $d$ và không quá $l-d$. Một cách tô màu các đỉnh của graph được gọi là phù hợp nếu hai đỉnh kề nhau có màu khác nhau. Biết rằng tồn tại tập con thực sự $A$ của $V$ sao cho với mọi cách tô màu phù hợp $G$ bằng $r$ màu, và với mọi màu $C$, hoặc tất cả các số có màu $C$ nằm trong $A$, hoặc không có số mang màu $C$ nằm trong $A$. Chứng minh rằng có cách tô màu phù hợp $G$ bằng $r-1$ màu.
  19. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các điểm $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CD$. Các điểm $E$, $F$ lần lượt nằm trên $AB$, $AD$ sao cho $EF$ đi qua $O$ và $EO=OF$. Đường thẳng $EN$ cắt $FM$ tại $P$. Gọi $S$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PEF$. Đường thẳng $PO$ cắt $AD$ và $BA$ lần lượt tại $Q$ và $R$. Chứng minh rằng nếu $OSPC$ là một hình bình hành thì $AQ=AR$.
  20. Xét các graph $G(V,E)$ thỏa mãn: $G$ không chứa tam giác nhưng khi bổ sung một cạnh bất kỳ sẽ chứa ít nhất một tam giác, $|V|=2019$ và $|E|>2018$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|E|$.
  21. Cho $60$ điểm nằm trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có thể chia các điểm này thành $20$ nhóm, mỗi nhóm $3$ điểm sao cho giao của các phần trong của các tam giác có ba đỉnh thuộc cùng một nhóm khác rỗng.
  22. Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng có tập con $A$ của $\{1,2,\cdots,2^n\}$ sao cho $A$ có $n$ phần tử và với mỗi hai tập con phân biệt khác rỗng của $A$, tổng các phần tử của một tập không chia hết cho tổng các phần tử của tập còn lại.
  23. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất: với mỗi sáu số thực dương $a,b,c,x,y,z$ thỏa mãn $\max(a,b,c,x,y,z)=a$, $a+b+c=x+y+z$ và $abc=xyz$, ta đều có $$a^n+b^n+c^n \ge x^n+y^n+z^n.$$
  24. Cho hai số nguyên dương $n$, $k$ thỏa mãn $2 \le n <2^k$. Chứng minh rằng tồn tại tập con $A$ của $\{0,1,\cdots,n\}$ sao cho với mỗi hai phần tử $x$, $y$ khác nhau của $A$, ${y\choose x}$ là số nguyên chẵn và $$|A| \ge \frac{{k\choose \lfloor \frac{k}{2} \rfloor}}{2^k} \cdot (n+1).$$

Post a Comment


$hide=home

$hide=mobile$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$show=mobile$type=complex$c=6$spa=0$t=oot$h=1$sn=0$rm=0$m=0$l=0$src=random$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,16,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,47,Bắc Giang,45,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,8,Bắc Ninh,43,Bắc Trung Bộ,8,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,43,Benelux,13,Bình Định,39,Bình Dương,19,Bình Phước,37,Bình Thuận,30,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,12,Cần Thơ,13,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,308,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,122,Chuyên Sư Phạm,30,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,603,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,51,Đắk Nông,5,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1500,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,7,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,46,Đồng Tháp,50,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,31,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,25,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,24,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,25,Hà Nội,220,Hà Tĩnh,66,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,46,Hải Phòng,40,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,32,HKUST,6,Hòa Bình,12,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,7,HSG 10,91,HSG 11,78,HSG 12,523,HSG 9,373,HSG Cấp Trường,76,HSG Quốc Gia,97,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,28,Hương Sơn,1,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,24,IMO,51,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,303,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,14,KHTN,49,Kiên Giang,61,Kim Liên,1,Kon Tum,17,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,31,Lạng Sơn,18,Langlands,1,Lào Cai,11,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,41,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,430,Lớp 10 Không Chuyên,218,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYM,74,MYTS,4,Nam Định,30,Nam Phi,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,48,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,38,Ninh Thuận,14,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,94,Olympic 10/3,3,Olympic 11,86,Olympic 12,28,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,19,Olympic 30/4,65,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,10,Olympic Toán,292,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,26,Phú Yên,24,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,10,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,41,Putnam,25,Quảng Bình,39,Quảng Nam,28,Quảng Ngãi,31,Quảng Ninh,41,Quảng Trị,23,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,68,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,22,Shortlists,55,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,27,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,3,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,4,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,25,Thạch Hà,1,Thái Bình,37,Thái Nguyên,33,Thái Vân,2,Thanh Hóa,54,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,7,Thừa Thiên Huế,34,Tiền Giang,18,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TP Hồ Chí Minh,112,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,33,Trại Hè Hùng Vương,24,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,17,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,64,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,1,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,26,Vĩnh Long,18,Vĩnh Phúc,58,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,42,VNTST,20,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,25,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,16,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2019
Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2019
MOlympiad
https://www.molympiad.xyz/2019/08/de-thi-chon-doi-tuyen-toan-trung-quoc-tham-du-imo-2019.html
https://www.molympiad.xyz/
https://www.molympiad.xyz/
https://www.molympiad.xyz/2019/08/de-thi-chon-doi-tuyen-toan-trung-quoc-tham-du-imo-2019.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy